Đọc lại chuyện “cổ tích” tại đây.
Và hôm nay chúng ta sẽ bắt tay vô giải thích tên Đạo Hàm này.
Kiến thức Toán lớp 7 đã đưa chúng ta đến với khái niệm hàm số. Hàm số thực ra chỉ là biểu thức biểu diễn sự phụ thuộc của y theo x, tức là hễ x thay đổi thì y thay đổi, ta kí hiệu y=f(x).
Ví dụ: y=f(x)=x+2: ở đây nếu ta cho x=2 thì lập tức y trở thành 2+2=4.
Kiến thức lớp 7 chỉ cho ta biết cách tìm y với một số x bất kì. Điều này đưa đến một vấn đề: nếu x càng tăng thì y sẽ như thế nào? Cụ thể là: nếu x ta cho bằng 1,2,3,… thì liệu y có tăng hay giảm liên tục hay không, hay nó sẽ chuyển hướng tại một giá trị x nào đó? Chính vì vậy ta có khái niệm biến thiên.
Để việc hiểu đạo hàm trở nên dễ dàng hơn, hãy nhớ một điều thế này: bất kì thứ gì biến thiên (tăng hay giảm) thì cũng có đạo hàm.
Mình có đọc trên tuoitre.vn bài viết: Những ‘bí ẩn’ trong toán phổ thông: đạo hàm để làm gì?, thầy giáo Ngô Minh Đức có một câu rất hay: “Một năm sau ngày ra trường, bạn đi họp lớp và gặp lại đứa bạn ngồi cùng bàn. Quá bất ngờ vì cô bạn trở nên xinh đẹp, tự tin, khiến bạn phải thốt lên: ‘Mới có một năm, sao bạn thay đổi nhiều quá vậy?’ .Câu chuyện đơn giản trên đã ẩn chứa ý tưởng đạo hàm trong đó.“
Mình sẽ giải quyết bài toán này. Ở đây mình gọi biến x là thời gian t (tháng), và y là mức độ đẹp (d) của cô bạn í, và hàm số được biểu diễn thế này: d=f(t). (Và thời gian t sẽ chạy trong khoảng [1;12] (tháng)).
Giả sử bạn là một người y như trong câu chuyện trên: tròn một năm sau mới gặp lại cô bạn gái ấy lần đầu tiên, sẽ như thế nào? Trong đồ thị thì bây giờ (t=0), bạn gái ấy có mức độ đẹp là -5 (mình xin lỗi bạn), thì sau 1 năm (t=12), mức đẹp của bạn í là 4. Nhưng có hai vấn đề! Thứ nhất là bạn không hề biết liệu mình đã được chiêm ngưỡng phiên bản đẹp nhất của bạn ấy hay chưa. Thứ hai, bạn ấy cứ đẹp lên dần đều à, vì chắc chắn ai cũng phải xấu đi một xíu ở một thời điểm nào chứ.
Để giải quyết hai vấn đề kể trên, ta chia thời gian ra nhỏ hơn, ví dụ cứ 1 quý (3 tháng) ta lại gặp bạn gái ấy một lần. Với quá trình “thống kê” tương tự, hai vấn đề ấy vẫn phát sinh!
Bạn sẽ nghĩ đến chuyện chia 12 tháng ra làm 12 phần, và khi bạn nhìn vào đồ thị và so sánh với những phép kiểm nghiệm trước, bạn nghĩ bạn đã tìm ra lời giải. Nhưng không, Toán học sẽ vả vào mặt bạn thêm một vấn đề mới: giữa một tháng bất kì và tháng kế tiếp, sao bạn có thể nhìn đồ thị mà nói rằng tháng này bạn ấy đẹp (hay xấu) nhanh hơn tháng kia cho được?
Vấn đề tưởng chừng đơn giản mà rất khó khăn này đưa đẩy chúng ta, nhân loại, đến với những khái niệm sơ khai nhất của môn khoa học trừu tượng: Giải tích. Ở đó, đạo hàm đóng vai trò tối quan trọng, là gốc rễ của mọi vấn đề trong Giải tích.
Xét lại bài toán trên. Những thất bại cay đắng khiến các bạn nghĩ đến chân lí: chia nhỏ thời gian ra vô hạn phần. Nhưng làm cách nào?
Quay trở lại với những lần thử thất bại trước, mà cụ thể ở đây là khi các bạn chia thời gian làm 12 phần (mỗi phần tương đương 1 tháng). Từ nhanh hay chậm sẽ làm các bạn nghĩ ngay đến khái niệm vận tốc. Trong toán học, vận tốc chẳng qua là tốc độ thay đổi của y so với x (sau đây mình sẽ dùng từ tốc độ). Vậy với vấn đề nan giải này thì tốc độ có ý nghĩa như thế nào? Là vầy: lượng y (xinh đẹp) tăng (hay giảm) trong 1 phần (1 tháng).
Ví dụ: tốc độ y từ tháng 4 đến tháng 5:
Từ tháng 4 đến tháng 5 cô ấy tăng 5 đẹp, tức tốc độ là 5 (đẹp/tháng). Tuy nhiên ở trên mình đã chứng minh, rằng chia thời gian lớn như vậy thì phép đo biến thiên sẽ cực kì thiếu chính xác. Cần chia thời gian ra thành vô hạn lượng! Nếu ta chia thời gian ra càng nhiều lượng thì thời gian trong mỗi lượng sẽ giảm, và khi số lượng là vô hạn thì thời gian bằng không!! Ý nghĩa của điều này là Δt trong công thức tốc độ sẽ tiến về 0, và vì nó nằm ở mẫu nên ta chỉ được phép sử dụng công thức giới hạn (lim).
Cuối cùng, ta có định nghĩa về đạo hàm như trong SGK lớp 11 (Nhìn ‘đẹp’ chưa kìa):
Bất kì thứ gì biến thiên (tăng hay giảm) thì cũng có đạo hàm.
#PhátLàmToán 